一、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接根据“经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径，证垂直”。
二、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。
三、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。
要证明切线的两种思路，我们可以使用数学归纳法来证明。
思路1：通过逆向思维证明
假设切线不存在，即对于任意一条直线，都不与曲线相交。现在我们来考虑如何构造一条直线与曲线相交。
我们可以将曲线上的两个点分别作为直线的两个端点，然后连接这两个点。这条直线将穿过曲线，且与曲线相交于这两个点。这就证明了切线存在。因此，假设切线不存在是错误的。
思路2：通过充分性证明
要证明切线存在并且唯一，我们需要证明对于任意一点都存在且仅存在一条与该点切的线。
为了证明这一点，我们可以使用拉格朗日中值定理。该定理指出，如果函数在某个区间内连续，在另一个区间内可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得函数在这一点的导数等于函数在该区间内的平均变化率。
对于一条曲线和一点，我们可以将该点的坐标代入曲线的方程中，得到该点处的斜率。
最高人民法院《关于民事诉讼证据的若干规定》第７７ 条规定，人民法院就数个证据对同一事实的证明力，可以依照下列原则认定：
（１）国家机关、社会团体依职权制作的公文书证的证明力一般大于其他书证；
（２）物证、档案、鉴定结论、勘验笔录或者经过公证、登记的书证，其证明力一般大于其他书证、视听资料和证人证言；
（３）原始证据的证明力一般大于传来证据；
（４）直接证据的证明力一般大于间接证据；
（５）证人提供的对与其有亲属或者其他密切关系的当事人有利的证言，其证明力一般小于其他证人证言。